10-cage de Balaban

La 10-cage de Balaban (ou (3,10)-cage de Balaban) est, en théorie des graphes, un graphe régulier possédant 70 sommets et 105 arêtes.

Il porte le nom du mathématicien A. T. Balaban qui en a publié la description en 1972.

Propriétés

Propriétés générales

La 10-cage de Balaban est une (3,10)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 10 et étant régulier de degré 3. Il s'agit de la première cage de ce type à avoir été découverte, mais elle n'est pas unique. La liste complète des (3-10)-cages a été donnée par O'Keefe et Wong en 1980. Il en existe trois distinctes, les deux autres étant le graphe de Harries et le graphe de Harries-Wong.

La 10-cage de Balaban est un graphe hamiltonien. Elle possède 91 440 cycles hamiltoniens distincts.

Le diamètre de la 10-cage de Balaban, l'excentricité maximale de ses sommets, ainsi que son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, sont tous deux égaux à 6. Cela entraîne que tous ses sommets appartiennent à son centre. Il s'agit par ailleurs d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté, il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes. Comme il est régulier de degré 3, ce nombre est optimal. La 10-cage de Balaban est donc un graphe optimalement connecté.

Coloration

Le nombre chromatique de la 10-cage de Balaban est 2, c'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes, et ce nombre est (évidemment) minimal.

L'indice chromatique de la 10-cage de Balaban est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes, et ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes de la 10-cage de Balaban est d'ordre 80.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence de la 10-cage de Balaban est : $(x-3)(x-2)(x-1)^{8}x^{2}(x 1)^{8}(x 2)(x 3)(x^{2}-6)^{2}(x^{2}-5)^{4}(x^{2}-2)^{2}(x^{4}-6x^{2} 3)^{8}$ .